PDA

Xem phiên bản đầy đủ : Bài Toán “ gà và chó”


HBinh
22-01-2008, 14:37
Trích của HienNguyen:
e đang dạy toán cho 1 học sinh lớp 3, mới biết cộng trừ nhân chia thôi ạ. với hạn chế đó thì giải bài toán dân gian bất hủ sau như thế nào ạ?
vừa gà vừa chó
bó lại cho tròn
ba mươi sáu con
một trăm chân chẵn
__________________
bổn lai vô nhất vật
hà xứ nhạ trần ai

Tôi xin mạn phép chuyển qua bên khối Tiểu học để tham gia cho đúng với tinh thần của bài viết này.
Bài Toán “ gà và chó” nếu dạy cho HS Tiểu học thì cách giải đơn giản và phù hợp nhất , theo tôi , là cách giải bằng phương pháp đặt giả thiết tạm.
Tôi đã kiểm tra lại bằng đứa cháu đang học lớp 5 , cháu rất hí hửng và “giảng giải” lại như sau ( vì cháu đã được Cô giáo bồi dưỡng toán dạy bài này rồi )
Giả sử tất cả là gà thì có 36 gà với 72 chân, như vậy còn thừa 28 chân. Giờ ta đem số chân này “gắn thêm” vào mỗi con gà hai chân nữa, cho đến khi nào hết số 28 chân thì thôi. Khi đó ta có 14 con gà được gắn thêm 2 chân, tức là có 14 con gà có 4 chân. Chuyển 14 con này thanh con chó ( vì chó có 4 chân ). Vậy đáp số là 14 chó và 22 gà.
Một cách giải vô cùng đơn giản.
Việc giải bài toán này bằng cách đặt ẩn số là không phù hợp với HS Tiểu học , còn cách giải bằng sơ đồ đọan thẳng tuy có trực quan nhưng khá là dài dòng nếu không muốn nói là phức tạp hơn. Không biết các Thầy Cô có cách nào khác giải bài này cho HS Tiểu học đơn giản hơn nữa không ?

Tu Quang
22-01-2008, 14:46
Chào HBinh, mình không phải dựa vào cảm tính mà dựa vào kinh nghiệm của đứa con đang học lớp 4 của mình. Nó giải bài toán trên bằng 3 cách như mình đã viết đấy. Mình đã tham khảo một số sách dành cho học sinh tiểu học, sách bồi dưỡng,... chủ đạo người ta đều dùng một trong 3 cách trên.
Với bài toán gà và chó thì cách giả thuyết tạm là dễ giải nhất như bạn nói, còn các cách khác thì dài. Cách đặt ẩn số học sinh lớp 4 đã học.

Nhất Điểm Tuyết
23-01-2008, 13:03
về bản chất thì các cách trên không khác nhau mấy. trong trường hợp có nhiều biến số , cách đặt ẩn số rõ ràng là tiện hơn nhiều, một khi đưa về được hệ phương trình tuyến tính thì có nhiều công thức để giải.
tuy nhiên, ở đây với cấp độ tiểu học, thường số biến số chỉ giới hạn trong khoảng 2,3 biến. Khi đó, cách giải bằng lời (đặt giả thiết tạm) lại nổi lên với một vẻ đẹp lung linh, có hàm lượng tư duy cao hơn.
ý của e khi đưa ra bài toán này chính là khai thác vẻ đẹp của lời giải bằng lời mà không cần đặt ẩn số.

ta thử xem bài toán sau:
trong sân có gà, chó và chuồn chuồn. gà 2 cánh 2 chân, chó 4 chân, chuồn chuồn 4 cánh 6 chân. đếm thấy có tổng cộng là 20 con, 42 cánh, 86 chân. hỏi có bao nhiêu con mỗi loại?
với cách đại số hóa, bài toán được đưa về hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn 3 phương trình. hồi e học tiểu học thì e không có khái niệm về giải hệ như thế.
chúng ta thử thảo luận về cách giải bằng lời -đặt giả thiết tạm.

admin
23-01-2008, 14:39
Quan sát thấy chó là không có cánh. Vậy giả sử có 20 con chó chiếm mất 80 chân. Còn lại là 6 chân và 42 cánh. Nếu lấy 3 con chó, gắn thêm 2 chân và 4 cánh cho mỗi con, ta được 3 con chuồn chuồn (6 chân và 4 cánh) và còn lại 17 chó, 0 chân và 30 cánh. Xét thấy 2 con chó + 6 cánh sẽ đổi thành 1 con gà và 1 con chuồn chuồn (số lượng con vẫn không đổi). ta còn 30 cánh nên sẽ đổi 5x2=10 con chó + 30 cánh thành 5 con gà và 5 con chuồn chuồn.

Vậy số chó còn lại: 17-10=7, số gà là 5, số chuồn chuồn là 3+5=8.

HBinh
23-01-2008, 20:01
Hay quá !
Thầy Admin quả thật có nhiều tài, giải toán "ngon lành" không thua gì GV chuyên Toán.
Bài Toán mà bạn HienNguyen đưa ra, được xem là một trong các cách phát triển khả năng tư duy và năng lực giải toán của HS , ta vẫn quen gọi là khai thác bài tóan. Mong sao có nhiều hơn nữa các đề tài tương tự như thế này thì hay biết mấy.

Nhất Điểm Tuyết
29-01-2008, 04:33
bài toán trên có thể làm khó thêm tí nữa bằng cách bỏ một phương trình đi , bỏ thông tin tổng số con chẳng hạn. khi đó, hệ phương trình trở thành dạng hệ phương trình diophante 3 ẩn 2 phương trình. tuy nhiên trường hợp này nên điều chỉnh các hệ số sao cho dễ biện luận.
để hôm nào e rảnh sẽ ngồi chỉnh lại mấy cái hệ số cho vui

HBinh
29-01-2008, 08:37
Bạn Hien Nguyen thân mến.
Hôm nay có rảnh không? Chỉnh hệ số rồi post lên đi.

Nhất Điểm Tuyết
29-01-2008, 10:35
hôm nay k rảnh ạ, lại bị xì trét nữa, thôi thì làm tí toán cho nó thoải mái đầu óc xíu, với lại để đáp lại tấm thịnh tình của thầy HBinh vu cho e có vợ ^.^

bây giờ trong sân có gà 2 chân 2 cánh, chuồn chuồn 6 chân 4 cánh, và cua 8 chân 0 cánh. đếm thấy tổng cộng 100 cái chân và 48 cái cánh. hỏi có bao nhiêu con mỗi loại?

với bài toán trên, e đã thay chó bằng cua để chỉnh hệ số 4 chân thành 8 chân, và bỏ đi thông tin về tổng số con. mời các thầy cô ạ .

HBinh
29-01-2008, 13:50
Hay lắm. Có lẽ bạn HienNguyen ngoài Đường thi còn rất rành về toán học nữa. Bạn mới đúng là văn võ song toàn.

Tu Quang
30-01-2008, 09:28
Mình đề nghị cách giải sau:
- Giả sử 48 cánh là của gà => số chân tương ứng: 48 (24 con gà)
- Số chân còn lại: 100 - = 52 là của Chuồn chuồn và Cua
Ta thấy Chuồn chuồn có 6 chân và cua có 8 chân. Như vậy số Chân của chuồn chuồn là bội của 6 và số chân của cua là bội của 8. Xét từ 52 trở xuống:
- 48 chân chuồn chuồn => 4 chân cua: sai
- 42 chân chuồn chuồn => 10 chân cua: sai
- 36 chân chuồn chuồn => 16 chân cua: đúng
Ta có 36 chân chuồn chuồn => 24 cánh (6 con) và 16 chân cua.
Theo đề ta có 48 cánh, nên số cánh còn lại là của gà => gà có 48-24 = 24 cánh và 24 chân (12 con)
Nhưng số chân: 24 (gà) + 36 (chuồn chuồn)= 60 chân => số chân còn lại 100-60=40 là của cua (5 con)
Vây ta có:
12 gà, 6 chuồn chuồn và 5 cua.
Mình giải theo tinh thần tiểu học.

HBinh
30-01-2008, 13:43
Cách giải của TuQuang là hay lắm, cách giải trên là một minh chứng cho phương pháp khử có kết hợp vơi PP đặt giả thiết tạm.

Nhất Điểm Tuyết
31-01-2008, 03:48
Mình đề nghị cách giải sau:
- Giả sử 48 cánh là của gà => số chân tương ứng: 48 (24 con gà)
- Số chân còn lại: 100 - = 52 là của Chuồn chuồn và Cua
Ta thấy Chuồn chuồn có 6 chân và cua có 8 chân. Như vậy số Chân của chuồn chuồn là bội của 6 và số chân của cua là bội của 2.

Khi giả sử 48 cánh là của gà, thì lập tức số chuồn chuồn là 0. làm phép thử với số chuồn chuồn >0 thì chưa hợp lý ạ.


- 48 chân chuồn chuồn => 4 chân cua: sai
- 42 chân chuồn chuồn => 10 chân cua: sai
- 36 chân chuồn chuồn => 16 chân cua: đúng

ta không nên dừng lại mà nên thử tiếp ạ. vì hệ phương trình diophante có thể đa nghiệm.

Tu Quang
31-01-2008, 09:05
Đúng ra là nên thử nữa nhưng chỉ dẫn chứng 3. Số chân cua là bội của 8 (ghi 2 sai).
Cảm ơn nhiều.

HBinh
31-01-2008, 13:48
Ở bậcTiểu học thì giải như TuQuang là đạt lắm rồi. Đúng là phương trình nghiệm nguyên này có nhiều nghiệm, nhưng để đưa ra đủ tập nghiệm thì e rằng hơi quá sức Tiểu học. Chỉ cần các em đưa ra đúng một trong các đáp số là Giám khảo mừng lắm rồi.
Hơn nữa, khi dùng giả thiết tạm kết hợp với khử thì chỉ như vậy cũng đã là quá hay ( chắc hẵn bạn HienNguyen cũng không đến mức khó tính đối với bài toán tiểu học )

ntc
31-01-2008, 19:35
Mình xin đề nghị phương án sau:
Phương pháp "cho chó làm xiếc"
- Cho tất cả bọn chúng đứng lên bàn. Bất cứ con chó nào cũng phải thò hai chân xuống đất.
- Bây giờ trên bàn có 72 chân cả chân gà và chân chó.
- Vị chi là dưới đất có 28 chân ( trong số 100 chân).
- Tất nhiên là cứ 2 chân là của một con chó. Vậy sẽ có 28: 2 = 14 con chó
- Số gà tính ra ngay.

HBinh
31-01-2008, 20:09
Cảm ơn bạn đã tham gia. Cách giải của bạn khá hay, nhưng nó cũng chỉ là biến thể của cách giải "gắn thêm chân cho gà hoặc chặt bớt chân của chó" - tức là giải bằng PP đặt giả thiết tạm.

Nhất Điểm Tuyết
01-02-2008, 01:39
e xin dựa trên cách của thầy Tu Quang, sửa lại một chút như sau:

giả sử 48 cánh là của gà, ta được số chuồn chuồn là 0 và số gà là 24.

số chân cua sẽ là 100-2*24=52

nếu ta thay một số gà bằng chuồn chuồn thì để đảm bảo số cánh bằng 48, số gà lấy ra phải gấp đôi số chuồn chuồn thêm vào.

cứ lấy ra 2 gà và thêm vào 1 chuồn chuồn thì tổng số chân gà với chuồn chuồn sẽ tăng thêm 2. khi đó, để đảm bảo tổng số chân là 100, số chân cua phải giảm đi 2.

như vậy, số chân cua không thể lớn hơn 52.

tương tự, giả sử 48 cánh là của chuồn chuồn, ta được số gà là 0 và số chuồn chuồn là 12

số chân cua sẽ là 100-6*12 = 28

nếu ta thay một số chuồn chuồn bằng gà thì để đảm bảo số cánh bằng 48, số gà thêm vào phải gấp đôi số chuồn chuồn lấy ra.

cứ thêm vào 2 gà và lấy ra 1 chuồn chuồn thì tổng số chân gà với chuồn chuồn sẽ giảm đi 2. khi đó, để đảm bảo tổng số chân là 100, số chân cua phải tăng thêm 2.

như vậy, số chân cua không thể nhỏ hơn 28.

số chân cua là một bội số của 8, nằm từ 28 đến 52, vậy có thể là 32, 40, 48

ta sẽ được các đáp số tương ứng là (gà, chuồn chuồn, cua) = (4,10,4) ; (12,6,5) ; (20,2,6)